Balistique extérieure, trajectoire d'un projectile.

Préambule important et nécessaire :

Aucune formule mathématique ne permet de décrire " exactement " la trajectoire d’un projectile sortant de la bouche d’un canon, d’un fusil, d’une carabine, d’une arme de poing (pistolet, revolver). Pour tenter d’en donner une bonne approximation, chacun choisit un modèle.

COX, statisticien reconnu disait " tous les modèles sont faux, certains peuvent rendre service ".
Quels que soient les calculs effectués par chacun, ce ne seront que des approximations.

 

Dans les conditions qui nous intéressent…
(mes conditions : tir au revolver ancien F.lli Pietta 1858 REMINGTON NEW MODEL ARMY poudre noire, voir ci-contre),
il est généralement admis qu’une assez bonne description de la trajectoire est réalisée en prenant une résistance à la pénétration dans l’air proportionnelle au carré de la vitesse du projectile.

Afin d’obtenir une formule utilisable et non un calcul approché qu’il faudrait recommencer pour toute nouvelle recherche d’un nouveau résultat, j’ai choisi de décomposer le mouvement, la vitesse, selon les axes horizontal et vertical, tout en considérant chacune de ces projections indépendantes et chacune sur son axe freinée par une résistance proportionnelle au carré de la vitesse (sur l’axe).

Les résultats obtenus sont " cohérents " avec les observations sur le terrain.

Terminologie :
Portée : Distance maximale atteinte par un projectile.
Flèche : Hauteur maximale atteinte par la balle sur sa trajectoire.

 

Ce qui suit n'est qu'une version réduite d'un gros travail avec de beaux calculs ! Calculer la portée et la flèche d'un projectile n'est pas simple.

Ce problème de balistique est traité dans les conditions suivantes : l’arme utilisée est un revolver à poudre noire (reproduction du Remington New Army 1858), calibre .45 (soit un diamètre de 11,55 mm ou 1,155 10-2 m),
v0=250 m/s = vitesse de sortie du canon de la balle,
masse de la balle (ronde en plomb) : 9,5 g (m=9,5 10-3 kg).

Surface frontale de la balle : $\frac{1}{2}$ sphère de rayon 5,775.10$^{-3}$ m : MATH m$^{2}$.

On prendra : MATH avec $k_{1}=0,001$. MATH, avec MATH masse volumique de l'air (qui varie de 1,2 à 1,3 kg/cm2 au niveau de la mer), S la surface frontale du projectile, Cx=0,2 pour une balle ronde, le coefficient de pénétration dans l’air (0,25 à 0,20 pour une bonne voiture) et V la vitesse du projectile.
On prendra MATH

Dans le cadre de l'apprentissage de la résolution du problème, on procède par l'étude de trois cas.
Le premier ne tient pas compte de la résistance de l'air. La résolution en a été faite à partir des années 1600.
Il faut attendre aux environs des années 1700 pour une résolution tenant compte (pas suffisamment) de la résistance de l'air.
Puis les années 1900 pour voir de nombreuses contributions au problème.
On remarquera que les artificiers (tir au canon), continuent d'utiliser des abaques, système plus rapide que de recalculer chaque fois les différentes formules employées en fonction des nouvelles conditions. Un progrès sensible est obtenu par le tir "automatisé", mettant en relation le canon et un calculateur (ordinateur embarqué).

Calcul de la portée, formules mathématiques :

PARTIE 1 :

La théorie peut être établie par un élève de terminale S, en France, pour ce premier cas, totalement irréaliste, qui considère se trouver sur terre, sans air. C'est Evangelista Torricelli (15 octobre 1608-25 octobre 1647) physicien et mathématicien italien qui le premier à résolu correctement ce problème par la méthode des "indivisibles" de Cavalieri (les débuts du calcul intégral).


Première formule :

Avec g=9,81 (m/s²), a =45 (en degrés) et v0=250 (m/s).

La portée trouvée est alors de 6380 m (plus de 6 km… totalement invraisemblable!).

 

PARTIE 2 :

Avec un peu (beaucoup ?) d'aide un élève de terminale S peut aussi résoudre le deuxième cas, plus réaliste, qui tient compte de la résistance de l'air. Cette résistance est considérée proportionnelle à la vitesse du projectile. La méthode est correcte dans le cas des vitesses lentes, jusqu'à 10 m/s. C'est ce que l'on peut appliquer à un parachutiste.
Les balles ont une vitesse initiale supérieure à 200 m/s, donc beaucoup plus importante que la limite de l'utilisation de la formule trouvée.


Deuxième formule :

Avec g=9,81 m/s², m=9,5 10-3 kg, k=0,001, a =45 (en degrés) et v0=250 m/s.

La portée trouvée est alors de 1570 m. C'est déjà plus réaliste, tout de même trop important pour les conditions indiquées.

PARTIE 3 :

Même avec beaucoup d'aide le cas réel qui doit tenir compte de la résistance de l'air comme proportionnelle au carré de la vitesse n'est pas du domaine possible des élèves de lycée. Il faut un bon niveau de licence de math et/ou de physique pour s'y attaquer. Les équations différentielles à résoudre ne sont pas de petits exercices d'application… On peut constater avec un moteur de recherche sur Internet que l'on peut arriver à trouver les deux premières formules ou au moins une aide pour y arriver. La dernière je ne l'y ai pas vue…

L'utilisation d'un logiciel de calcul formel est une aide appréciable. J'ai utilisé le nouveau logiciel TI-Nspire de Texas Instrument qui confirme les résultats de mes calculs (dans les conditions que j'ai choisi !).





Troisième formule :

Avec g=9,81 m/s², m=9,5 10-3 kg, k=2,62 10-5, a =45 (en degrés) et v0=250 m/s.

La portée trouvée est alors de 770 m tout à fait vraisemblable.

 

Calculs effectués (sous réserve d'usage) par Serge ETIENNE, vice-président du GFCA-Carbuccia.

 

Petite bibliographie :

 

  • Je ne suis pas arrivé à mettre la main sur un document écrit par Adrien-Marie Le Gendre lors de son passage à l’école d’artillerie… si vous en avez une version PDF merci par avance (pas trouvé sur la BNF qui pourtant possède d’autres écrits du mathématicien français Adrien-Marie Legendre).

 

 Calcul d'une flèche :

 

Considérations personnelles…
Dès qu'elle est sortie du canon une balle "tombe". C'est un effet de la gravitation.
Il me semble que cette arme est "réglée d'usine" pour tirer "sans correction" à une distance de 30 m.
Ce qui veut dire que le constructeur donne un angle (très petit, de l'ordre de 0,1° vers le haut) entre l'axe du canon et le point de visée sans correction.

Calculer la flèche, c'est trouver à quelle hauteur monte la balle entre la sortie du canon et le point visé.

Ce que disent mes calculs:


Distance Prévue :

Angle de tir avec l'horizontale :

Temps de vol (distance totale).


Flèche :


Distance :


Temps :

30 m.

0,142 °.

0,126 s.

0,0195 m.

15,89 m.

0,065 s.

50 m.

0,246 °.

0,215 s.

0,059 m.

26,51 m.

0,11 s.

100 m.

0,52 °.

0,46 s.

0,262 m.

53,37 m.

0,23 s.

200 m.

1,21 °.

1,07 s.

1,415 m.

112,91 m.

0,54 s.

 

 

La suite (les calculs avec quelques schémas nécessaires) ! Balistique trajectoire et projectile Texte complet en pdf

 

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Dernière mise à jour le 02/XII/2012 par Serge ETIENNE    

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